úterý 30. prosince 2014

Genealogická matematika aneb sexagesimální soustava na prstech

K sepsání tohoto postu mě inspirovala, jak jinak, gruntovní kniha. Pra(-)dědeček byl v roce 1750 povinen nahradit nějaké dlužné odvody do kontribučenské sýpky a v gruntovní knize byly použity značky pro míry, jejichž význam mi nebyl zřejmý. U všech druhů obilí bylo uvedeno, kolik měl do sýpky odvést, pak jednotková cena ve zlatých a nakonec dlužná částka. Podstat byla jasná, ale vadilo mě, že jsem nebyl schopný jednotky a jejich zkratky identifikovat. 


Jedinou zřejmou jednotkou byl strych, který byl uváděn vždy jako nejvyšší jednotka. Ostatní nižší jednotky tedy byly jeho zlomky. Nezbývalo než sáhnout k matematice, abych zjistil poměr těchto nižších jednotek ke strychu a podle toho si odvodil jejich pojmenování.

Pšenice

Pšenice 3 str. 2 ?
Jednotková cena za 1 strych: 2 zl. 30 kr.
Dluží celkem: 7 zl. 48 kr. 4½ d.
Cena 3 strychů: 3*2 zl. 30 kr. = 7 zl. 30 kr.
Na 2 ? jednotky tedy zbývá 18 kr. 4½ d.
Jednotková cena 1 strych v denárech: 2 zl. 30 kr. = 2*60+30= 150 kr. = 150 kr.*6 = 900 d.
Zbývající cena za 2 ? jednotky: 18*6+4,5= 112,5 d.
Zbývající cena za 1 ? jednotku: 112,5/2= 56,25 d.
Pak už zbývá vydělit jen cenu strychu v denárech cenou za 1 ? jednotku: 900/56,25 = 16

Výsledek: 16

Vyšlo mi, že uvedená jednotka je jednou šestnáctinou strychu. A pohledem to přehledů starých měr jsem zjistil, že jako jedna šestnáctina strychu se udává míra nazývaná čtvrtec. Ta čtvrtina, jak název napovídá, se neodvozovala od samotného strychu, ale od věrtele, který sám byl čtvrtinou strychu. A to byla i nápověda ke druhé zkratce použité třeba u ječmene nebo ovsa. Abych si hypotézu ověřil, spočítal jsem pro kontrolu ještě povinnosti spojené s ječmenem.


Ječmen

Ječmen 13 str. 1 vr.(?) 2 cž.
Jednotková cena 1 strych: 1 zl. 15 kr.
Dluží celkem: 16 zl. 43 kr. ¾ d.
Cena 13 str.: 13*1 zl. 15 kr. = 16 zl. 15 kr.
Zbývá zaplatit: 28 kr. ¾ d. vyjádřeno v denárech 168,75 d. (28 kr.*6= 168 d. +0,75 d. = 168,75 d.)
Zbývající objem: 1 vr.(2) 2 cž. vyjádřeno ve čtvrtcích 6 cž. (1*4+2 = 6 cž.)
Cena za 1 cž. v denárech: 168,75/6 = 28,125 d.
Cena za 1 vr. denárech: 28,125* 4 = 112,5 d.
A cena za 1 vr. v krejcarech: 112,5 d./6= 18,75 kr.
Pro kontrolu cena za strych: 4*18,75 kr. = 75 kr., tedy 1 zlatý a 15 krejcarů.

Výpočty mi tedy potvrdily, že uvedené míry jsou zlomky strychu, konkrétně věrtel a čtvrtec a zkratky pro ně používané byly vr. a cž.

Šedesátková soustava

Krkolomnost výpočtu, kdy jsem buď musel převádět na nejnižší použité jednotky, nebo převádět používané jednotky z šedesátkové na desítkovou, mě přiměly k zamyšlení, proč vůbec naši předkové používali šedesátkovou soustavu. Setkáme se s ní při počítání peněz, kdy se závazky uvádějí v kopách grošů. Později zase jeden zlatý odpovídal šedesáti krejcarům. Používala se i při udávání výměry, např. kopy záhonů. Často se pracovalo se zlomky vyjádřenými tucty, mandely a právě kopami. Dodneška nám ze šedesátkové soustavy přežily minuty a vteřiny a setkáme s ní i v geometrii při počítání úhlů.

Každé pojednání o šedesátkové soustavě odkáže na předlouhou historii počítání v šedesátkové soustavě ve starověkém Sumeru ve 4. tisíciletí před naším letopočtem. Rozšíření a používání šedesátkové soustavy se často spojuje s tím, že šedesát nabízí hodně dělitelů – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 – a tedy se dá dobře použít pro vyjádření zlomků. Však právě zmíněné výrazy tucet nebo mandel neoznačují nic jiného než takové zlomky. Bylo to možná i jednodušší počítat s konkrétními výrazy pro určitý počet a jejich vzájemné vztahy. A to samé platí třeba právě pro míry – čtyři čtvrtce jsou jeden věrtel, čtyři věrtele jsou jeden strych. Jinak jeden strych měl dvanáct záhonů. A těch příkladů bychom našli mnohem víc.

Zdroj: www.quora.com
Takže jakkoli se to dnes zdá nepraktické, v běžném životě šedesátková soustava problémy nedělala. Vždyť do měnové soustavy se u nás desítková soustava vetřela až v roce 1858, kdy zlatý začal platit za sto krejcarů. (pro připomenutí, Británie přistoupila k decimalizaci až v roce 1971). A jak jsem zjistil, existovalo i spolehlivý postup, jak v šedesátkové soustavě počítat na prstech. Na jedné ruce používáte palec k odpočítávání článků prstů na zbývajících čtyřech prstech, tj. 4*3=12 . Druhou ruku používáte k počítání násobků. Za každou celou dvanáctku jeden prst. Když jste napočítali pětkrát tucet na první ruce, máte na druhé ruce spočítanou kopu (tedy 5*12=60). Takže proč ne?